Rekursive Zahlen

In diesem Buch werden rekursive Zahlen definiert. Sie sollen dem interessierten Leser als Handwerkszeug zu eigenen Versuchen und Anwendungen dienen.
Zu den rekursiven Zahlen gehören auch die komplexen Zahlen.
Von besonderem Interesse ist die Erweiterung der komplexen Zahlen
ins Dreidimensionale. Als eine Anwendung dieser Erweiterung wird eine sehr spezielle „Umkehrung" der periodischen Funktion exp ( 0, x + 2 k pi ) vorgeschlagen.

Des weiteren lassen sich die rekursiven Zahlen für Primzahltests und
zur Erzeugung fraktaler Bilder benutzen.

Rekursive Zahlen werden durch Parameter definiert.
Die Parameter für eine komplexe Zahl a = ( a0, a1 ) sind

n = 1, o = r, g = 1, e1 = 0 und y = 1, e0 = 1.

Durch Variation von y und e0 definiert man z. B. mit Parametersets ps1, ps2
zwei verschiedene rekursive Zahlen.

ps1: y = 1, e0 = 1
ps2: y = 1, e0 = -1

Verwendet man die rekursiven Zahlen in Reihenentwicklungen für Funktionen,
so zeigen diese Funktionen bemerkenswerte Eigenschaften.
Z. B. liefern die Reihen von Sinus und Sinus hyperbolicus mit passenden
rekursiven Zahlen a = ( 0, a1 ) identische Zahlenwerte

sin [ ps1 ] ( 0, a1 ) = sinh [ ps2 ] ( 0, a )